USSR Team Forum - Зашел

ФЕДЕ�*АЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБ�*АЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДА�*СТВЕННЫЙ УНИВЕ�*СИТЕТ
Факультет экономики и управления
Кафедра «�*кономическая кибернетика»

ОТЧЕТ №2
по дисциплине «�*конометрика»
на тему: «Характеристика множественной регрессии»
ВА�*ИАНТ 11

Выполнил: студент гр.08�*Ч1
Бутаков Ю.И.
Проверил: к.э.н., доцент
Тусков А.А.

Пенза 2010 г.
Задание:
1. Методом корреляционных плеяд и пошаговой регрессии построить модель множественной регрессии. Провести анализ. (См. Таблица 1).
2. Проверить предпосылки МНК. При наличии гетероскедастичности использовать взвешенный метод наименьших квадратов.
3. Построить производственную функцию и провести ее эконометрический анализ. (См. Таблица 2).

Исходные данные:
Таблица 1
№ п/п Цена Общая площадь Площадь кухни Жилая площадь �*айон �*таж Тип дома Количество комнат
Y X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7
1 440 29,1 5,8 15,7 3 1 1 1
2 535 36,1 9,8 14,8 3 9 1 1
3 670 40,2 9,7 15,3 3 4 1 1
4 580 32,9 7,3 17,2 3 1 0 1
5 480 30,6 5,5 19 3 4 0 1
6 515 31,2 6 19,8 3 3 0 1
7 550 31 5,8 17 3 5 0 1
8 570 43,8 5,5 28,2 3 5 0 2
9 1820 68,8 12,6 35,4 3 5 1 2
10 1100 65,7 7,8 42,6 3 9 0 3
11 730 57,4 5,3 46,4 3 1 0 3
12 820 58,8 6 47,4 3 3 0 3
13 875 63,9 8,9 36 3 9 1 3
14 1330 61 8 39,5 3 3 1 3
15 1180 66,2 7,6 43 3 4 0 3
16 1030 61 9 45,3 3 1 0 3
17 978 62 7,6 39,7 3 5 1 3
18 670 39,4 9,7 19 4 4 0 1
19 499 33,6 8 17,2 4 1 0 1
20 770 50,7 8,6 29,6 4 2 0 2
21 720 53,5 8,4 29,4 4 1 0 2
22 680 50,4 8,7 29,3 4 7 0 2
23 720 54,9 8 26,8 4 2 0 2
24 570 43 5,6 28 4 1 1 2
25 724 50,6 8,4 28,9 4 1 0 2
26 570 46,6 5,9 33,2 4 5 0 2
27 752 56,3 10,5 33 4 1 0 2
28 730 56,2 8,8 27,6 4 4 0 2
29 880 66 7,8 42,9 4 6 0 3
30 770 66 8,5 39 4 10 0 3
31 825 60,7 9,3 37 4 6 1 3
32 885 64,7 8,5 37,7 4 8 1 3
33 770 62,8 8,4 38,7 4 8 0 3
34 870 62,8 13 38,9 4 5 0 3
Таблица 2
i 1 2 3 4 5 6 7
Yi 36,22 38,01 37,39 56,61 52,36 54,07 29,99
Xi1 11 18 16 26 20 21 9
Xi2 12 16 12 13 8 9 14

Выполнение:
1. Построим многофакторную модель с использованием следующих методов:
метод анализа парных и частных коэффициентов корреляции с использованием метода корреляционных плеяд;
метод шагового регрессионного анализа.

Метод анализа парных и частных коэффициентов корреляции

1. Построим матрицу парных коэффициентов корреляции с помощью Excel (Сервис Анализ данных Корреляция);
Y X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7
Y 1 0,748649 0,501238 0,613953 -0,19579 0,180812 0,263392 0,56397
X1 0,748649 1 0,429318 0,893851 0,18405 0,363977 0,064169 0,916671
X2 0,501238 0,429318 1 0,108119 0,285304 0,227407 0,179224 0,152878
X3 0,613953 0,893851 0,108119 1 0,040948 0,209131 -0,07903 0,959019
X4 -0,19579 0,18405 0,285304 0,040948 1 4,76E-17 -0,2582 0,109037
X5 0,180812 0,363977 0,227407 0,209131 4,76E-17 1 0,203368 0,328727
X6 0,263392 0,064169 0,179224 -0,07903 -0,2582 0,203368 1 0,04223
X7 0,56397 0,916671 0,152878 0,959019 0,109037 0,328727 0,04223 1

2. �*ассчитаем критический коэффициент корреляции по формуле:

3. Сравним фактические парные коэффициенты корреляции с критическим, при этом парные коэффициенты берутся по модулю. Если критическое значение корреляции меньше модуля парного коэффициента корреляции, то переменные достоверные. В нашем случае это будут УХ1, УХ2, УХ3, УХ7, Х1Х2, Х1Х3, Х1Х5, Х1Х7, Х3Х7, Х4Х5.
4. Графически покажем связи между переменными.

5. Чтобы определить, какая переменная точно войдет в регрессионную модель, построим корреляционные плеяды по частным коэффициентам корреляции:
, где
Сij элемент обратной матрицы, к матрице парных коэффициентов корреляции.
Y X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7
Y -0,66081 -0,19732 -0,30608 0,563151 0,221483 -0,37358 0,545742
X1 -0,66081 1 -0,39574 -0,09157 -0,48185 -0,51188 0,159588 -0,54238
X2 -0,19732 -0,39574 1 0,250749 -0,21129 -0,02103 -0,01648 0,131116
X3 -0,30608 -0,09157 0,250749 1 0,185769 0,341963 0,558221 -0,75052
X4 0,563151 -0,48185 -0,21129 0,185769 1 0,31257 0,153381 0,060112
X5 0,221483 -0,31368 -0,02103 0,341963 0,31257 1 0,008543 -0,16443
X6 -0,37358 0,159588 -0,01648 0,558221 0,153381 0,008543 1 -0,4832
X7 0,545742 -0,54238 0,131116 -0,75052 0,060112 -0,16443 -0,53323 1

6. Построим обратную матрицу с помощью функции Excel (Вставка-Функция МОБ�*).
Y X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7
Y 6,96854 -9,42744 -0,84964 -4,2806 2,240599 0,7335 -1,3469 8,518335
X1 -9,42744 29,20752 -3,48849 -2,62181 -3,92485 -2,12675 1,177954 -17,3319
X2 -0,84964 -3,48849 2,660506 2,166819 -0,51943 -0,04304 -0,03671 1,264544
X3 -4,2806 -2,62181 2,166819 28,06752 1,483353 2,272847 4,039142 -23,5105
X4 2,240599 -3,92485 -0,51943 1,483353 2,271623 0,591024 0,315735 0,535703
X5 0,7335 -2,12675 -0,04304 2,272847 0,591024 1,573902 0,014637 -1,21971
X6 -1,3469 1,177954 -0,03671 4,039142 0,315735 0,014637 1,865359 -4,3062
X7 8,518335 -17,3319 1,264544 -23,5105 0,535703 -1,21971 -4,3062 34,96166
�*ассчитаем частные коэффициенты корреляции. Полученные значения берем по модулю и сравниваем их с критическим значением корреляции.

Т.к. фактор х1 теснее связан с зависимой переменной У, включим его в модель.

ВЫВОД ИТОГОВ

�*егрессионная статистика
Множественный R 0,748649
R-квадрат 0,560475
Нормированный R-квадрат 0,546739
Стандартная ошибка 184,5765
Наблюдения 34

Дисперсионный анализ
df SS MS F Значимость F
�*егрессия 1 1390191 1390191 40,80581 3,55E-07
Остаток 32 1090191 34068,47
Итого 33 2480382

Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95% Нижние 95,0% Верхние 95,0%
Y-пересечение -50,8208 134,2512 -0,37855 0,707522 -324,282 222,6399 -324,282 222,6399
X 1 16,11918 2,523376 6,387942 3,55E-07 10,97923 21,25913 10,97923 21,25913

ВЫВОД ОСТАТКА

Наблюдение Предсказанное Y Остатки
1 418,2474 21,75265
2 531,0816 3,918387
3 597,1703 72,82975
4 479,5002 100,4998
5 442,4261 37,57388
6 452,0976 62,90237
7 448,8738 101,1262
8 655,1993 -85,1993
9 1058,179 761,8212
10 1008,209 91,79065
11 874,4202 -144,42
12 896,987 -76,987
13 979,1948 -104,195
14 932,4492 397,5508
15 1016,269 163,7311
16 932,4492 97,5508
17 948,5684 29,43162
18 584,2749 85,72509
19 490,7837 8,216338
20 766,4216 3,578354
21 811,5554 -91,5554
22 761,5859 -81,5859
23 834,1222 -114,122
24 642,304 -72,304
25 764,8097 -40,8097
26 700,333 -130,333
27 856,6891 -104,689
28 855,0771 -125,077
29 1013,045 -133,045
30 1013,045 -243,045
31 927,6134 -102,613
32 992,0902 -107,09
33 961,4637 -191,464
34 961,4637 -91,4637
Y = -50,8208 + 16,11918X1

Метод шагового регрессионного анализа

1. В SPSS выбираем метод Step Vise (пошаговый отбор) и получаем следующие данные:

�*егрессия

Включенные/исключенные переменные
Модель Включенные переменные Исключенные переменные Метод
1 X1 . Шаговый (критерий: вероятность F-включения <= ,050, F-исключения>= ,100).
2 X4 . Шаговый (критерий: вероятность F-включения <= ,050, F-исключения>= ,100).
3 X7 . Шаговый (критерий: вероятность F-включения <= ,050, F-исключения>= ,100).
a. Зависимая переменная: Y

Сводка для моделиd
Модель R R квадрат Скорректированный R квадрат Стд. ошибка оценки
1 ,749a ,560 ,547 184,57645
2 ,822b ,676 ,655 161,09597
3 ,898c ,807 ,787 126,47653
a. Предикторы: (константа) X1
b. Предикторы: (константа) X1, X4
c. Предикторы: (константа) X1, X4, X7
d. Зависимая переменная: Y

Дисперсионный анализd
Модель Сумма квадратов ст.св. Средний квадрат F Знч.
1 �*егрессия 1390191,310 1 1390191,310 40,806 ,000a
Остаток 1090190,925 32 34068,466
Итого 2480382,235 33
2 �*егрессия 1675872,956 2 837936,478 32,288 ,000b
Остаток 804509,279 31 25951,912
Итого 2480382,235 33
3 �*егрессия 2000492,864 3 666830,955 41,687 ,000c
Остаток 479889,372 30 15996,312
Итого 2480382,235 33
a. Предикторы: (константа) X1
b. Предикторы: (константа) X1, X4
c. Предикторы: (константа) X1, X4, X7
d. Зависимая переменная: Y

Коэффициентыa
Модель Нестандартизованные коэффициенты Стандартизованные коэффициенты t Знч.
B Стд. ошибка Бета
1 (Константа) -50,821 134,251 -,379 ,708
X1 16,119 2,523 ,749 6,388 ,000
2 (Константа) 531,241 210,965 2,518 ,017
X1 17,487 2,241 ,812 7,805 ,000
X4 -186,515 56,216 -,345 -3,318 ,002
3 (Константа) 348,349 170,532 2,043 ,050
X1 35,788 4,427 1,662 8,084 ,000
X4 -217,075 44,653 -,402 -4,861 ,000
X7 -305,687 67,858 -,916 -4,505 ,000
a. Зависимая переменная: Y

Исключенные переменныеd
Модель Бета включения t Знч. Частная корреляция Статистики коллинеарности
Толерантность
1 X2 ,197a 1,553 ,130 ,269 ,818
X3 -,275a -1,053 ,301 -,186 ,201
X4 -,345a -3,318 ,002 -,512 ,966
X5 -,106a -,836 ,410 -,148 ,868
X6 ,216a 1,917 ,065 ,326 ,996
X7 -,766a -2,897 ,007 -,462 ,160
2 X2 ,307b 2,943 ,006 ,473 ,769
X3 -,528b -2,386 ,024 -,399 ,185
X5 -,133b -1,218 ,233 -,217 ,863
X6 ,133b 1,256 ,219 ,224 ,920
X7 -,916b -4,505 ,000 -,635 ,156
3 X2 ,081c ,682 ,501 ,126 ,467
X3 ,313c 1,059 ,298 ,193 ,074
X5 -,143c -1,702 ,099 -,301 ,862
X6 ,100c 1,203 ,239 ,218 ,913
a. Предикторы в модели: (конст) X1
b. Предикторы в модели: (конст) X1, X4
c. Предикторы в модели: (конст) X1, X4, X7
d. Зависимая переменная: Y

Статистики остатковa
Минимум Максимум Среднее Стд. отклонение N
Предсказанное значение 376,8290 1547,9447 782,5882 246,21331 34
Стандартиз. предсказанное значение -1,648 3,109 ,000 1,000 34
Стандартная ошибка предсказанного значения 31,324 94,691 42,144 10,440 34
Скорректированное предсказанное значение 357,0273 1200,9454 773,1315 223,65937 34
Остаток -191,89740 366,88702 ,00000 120,59064 34
Стандартиз. остаток -1,517 2,901 ,000 ,953 34
Стьюд. остаток -1,600 3,245 ,029 1,086 34
Удаленный остаток -213,46944 619,05457 9,45674 164,25602 34
Стьюд. удаленный остаток -1,645 3,960 ,064 1,207 34
�*асстояние Махаланобиса 1,054 17,527 2,912 2,701 34
�*асстояние Кука ,000 3,357 ,124 ,573 34
Центрированное значение разбалансировки ,032 ,531 ,088 ,082 34

Y = -50,8208 + 16,11918X1

Метод шагового отбора и метод корреляционных плеяд дали одинаковый результат.

2.
1. Проверим предпосылки МНК. Для определения выполнения условия независимости остатков рассчитаем критерий Дарбина-Уотсона:

Для расчета соответствующих переменных в формуле произведем следующие операции рассчитаем:
Ei-E(i-1) (Ei-E(i-1))^2 (Ei)^2
-17,834262 318,0609077 473,1777
68,9113607 4748,775636 15,35376
27,6700163 765,6298009 5304,172
-62,925885 3959,667039 10100,2
25,3284918 641,5324975 1411,796
38,2238361 1461,061643 3956,708
-186,32551 34717,19493 10226,51
847,020492 717443,7142 7258,921
-670,03054 448940,9259 580371,5
-236,2108 55795,54365 8425,523
67,4331476 4547,22939 20857,18
-27,20782 740,2654469 5926,999
501,745623 251748,6701 10856,56
-233,81974 54671,6697 158046,6
-66,180262 4379,827128 26807,86
-68,11918 4640,222726 9516,158
56,2934751 3168,955334 866,2201
-77,508754 6007,606976 7348,791
-4,6379833 21,51088944 67,50821
-95,133705 9050,421803 12,80462
9,96945897 99,39011211 8382,382
-32,536311 1058,61156 6656,258
41,8182457 1748,765675 13023,88
31,4942296 991,8864999 5227,862
-89,523279 8014,417438 1665,434
25,643951 657,6122215 16986,69
-20,388082 415,6738864 10959,8
-7,9679671 63,48849905 15644,29
-110 12100 17701
140,431656 19721,04991 59070,92
-4,4767212 20,04103314 10529,52
-84,373557 7118,89719 11468,3
100 10000 36658,36
91,4637274 8365,613431 8365,613
сумма -21,752649 1678143,933 1090191

Таким образом, dw = 1,539311963
Теперь обратимся к значениям статистик Дарбина-Уотсона при 5%-ном уровне значимости. В нашем случае количество переменных k равно 1, а n=34. На пересечении этих значений находим первые нижнюю и верхнюю критические границы, которые равны Dн=1,29 и Dв=1,45. Найдем вторые верхние и нижние критические границы: Dн=4-Dв=2,55 и Dв=4-Dн=2,71. Таким образом, найденное нами значение dw попадает в интервал от Dв до Dн. Отсюда мы можем сделать вывод о том, что остатки независимы, автокорреляция отсутствует, предпосылка выполняется.
Так же вывод о наличии или отсутствии автокорреляции мы можем сравним фактическое значение автокорреляции с критическим. Фактическое значение можно рассчитать по формуле:
> rф , гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается.

2. Проверим условие выполнения гомоскедастичности остатков.
Тест Гольфельда-Кванта.

Упорядочим 34 наблюдения по мере возрастания переменной Х. Исключим d=8,5 средних наблюдений. �*азделим совокупность на две группы и с помощью функции Excel «�*егрессия» анализа данных составляем две модели парной регрессии. Выведем остатки по каждой из этих групп:
Первая модель

ВЫВОД ИТОГОВ

�*егрессионная статистика
Множественный R 0,708237
R-квадрат 0,501599
Нормированный R-квадрат 0,45629
Стандартная ошибка 54,84438
Наблюдения 13

Дисперсионный анализ
df SS MS F Значимость F
�*егрессия 1 33299,34 33299,34 11,0706 0,006744
Остаток 11 33086,97 3007,906
Итого 12 66386,31

Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95% Нижние 95,0% Верхние 95,0%
Y-пересечение 276,5294 87,65931 3,154592 0,009167 83,59251 469,4662 83,59251 469,4662
Переменная X 1 7,65345 2,300232 3,327252 0,006744 2,590674 12,71623 2,590674 12,71623

ВЫВОД ОСТАТКА

Наблюдение Предсказанное Y Остатки
1 499,2448 -59,2448
2 510,7249 -30,7249
3 513,7863 36,21369
4 515,317 -0,317
5 528,3279 51,67213
6 533,6853 -34,6853
7 552,8189 -17,8189
8 578,0753 91,9247
9 584,1981 85,80194
10 605,6277 -35,6277
11 611,7505 -41,7505
12 633,1801 -63,1801
13 662,2632 17,73675

Вторая модель

ВЫВОД ИТОГОВ

�*егрессионная статистика
Множественный R 0,554102
R-квадрат 0,307029
Нормированный R-квадрат 0,244031
Стандартная ошибка 154,6888
Наблюдения 13

Дисперсионный анализ
df SS MS F Значимость F
�*егрессия 1 116620,3 116620,3 4,873674 0,049422
Остаток 11 263214,8 23928,62
Итого 12 379835,1

Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95% Нижние 95,0% Верхние 95,0%
Y-пересечение -532,389 622,4029 -0,85538 0,410587 -1902,29 837,5109 -1902,29 837,5109
Переменная X 1 23,89067 10,82181 2,20764 0,049422 0,072017 47,70932 0,072017 47,70932

ВЫВОД ОСТАТКА

Наблюдение Предсказанное Y Остатки
1 676,4794 47,52062
2 678,8684 91,13156
3 745,7623 -25,7623
4 779,2093 -59,2093
5 810,2671 -80,2671
6 812,6562 -60,6562
7 838,9359 -108,936
8 872,3829 -52,3829
9 917,7752 -92,7752
10 924,9424 405,0576
11 924,9424 105,0576
12 948,833 29,16698
13 967,9456 -197,946

Для каждой модели найдем остаточную сумму квадратов.
1 модель 2 модель
3509,941 2258,21
944,0215 8304,961
1311,431 663,6972
0,100491 3505,737
2670,009 6442,813
1203,069 3679,175
317,5135 11867,04
8450,151 2743,966
7361,974 8607,229
1269,334 164071,7
1743,102 11037,11
3991,73 850,7125
314,5923 39182,45
сумма 33086,97 263214,8

Вычислим соотношение остаточных сумм квадратов:
е2/Е2= 7,95524

Полученное отношение имеет F распределение со степенями свободы 12 и 12. �*ассчитаем Fкр с помощью функции F�*АСПОБ�*(0,05;12;12).
Fкр= 2,686637

Так как Fрасч.> Fкр , имеет место гетероскедастичность, т.е. для каждого значения фактора Х1 остатки Еi не имеют одинаковую дисперсию.
Наличие гетероскедастичности в остатках регрессии можно проверить и с помощью ранговой корреляции Спирмена.
X1 ранг Остатки ранг разность рангов разность в квадрате
29,1 1 21,752649 4 -3 9
36,1 7 3,9183869 2 5 25
40,2 9 72,829748 10 -1 1
32,9 5 100,49976 19 -14 196
30,6 2 37,573879 6 -4 16
31,2 4 62,90237 8 -4 16
31 3 101,12621 20 -17 289
43,8 11 -85,199301 13 -2 4
68,8 34 761,82119 34 0 0
65,7 30 91,79065 17 13 169
57,4 20 -144,42015 29 -9 81
58,8 21 -76,987006 11 10 100
63,9 28 -104,19483 22 6 36
61 23,5 397,5508 33 -9,5 90,25
66,2 33 163,73106 30 3 9
61 23,5 97,550797 18 5,5 30,25
62 25 29,431617 5 20 400
39,4 8 85,725092 14 -6 36
33,6 6 8,2163377 3 3 9
50,7 15 3,5783544 1 14 196
53,5 16 -91,555351 16 0 0
50,4 13 -81,585892 12 1 1
54,9 17 -114,1222 25 -8 64
43 10 -72,303957 9 1 1
50,6 14 -40,809728 7 7 49
46,6 12 -130,33301 27 -15 225
56,3 19 -104,68906 23 -4 16
56,2 18 -125,07714 26 -8 64
66 31,5 -133,0451 28 3,5 12,25
66 31,5 -243,0451 32 -0,5 0,25
60,7 22 -102,61345 21 1 1
64,7 29 -107,09017 24 5 25
62,8 26,5 -191,46373 31 -4,5 20,25
62,8 26,5 -91,463727 15 11,5 132,25
сумма 2323,5

Суть проверки заключается в том, что в случае гетероскедастичности абсолютные остатки Еi коррелированны со значениями Хi. �*ту корреляция можно измерять с помощью коэффициента ранговой корреляции Спирмена:

�*ассчитаем t критерий Стьюдента для рассчитанного коэффициента Спирмена и критическое значение Стьюдента:

tкр= 0,644996

tкр < tr , следовательно гетероскедастичность имеет место.

Для нахождения параметров модели используем взвешенный МНК. Левую и правую часть полученной модели разделим на Х1:
Y = -50,8208 + 16,11918X1
у/х1=а0/х1+а1
введем замену у/х1=z; 1/x1=t
получаем z=a0t+a1
z=-50,8208 t+16,11918
�*ассчитаем столбец z и t:
z t t-tср (t-tср)2 Z-Zср (t-tср)*(Z-Zср)
15,12027 0,034364 0,013577808 0,000184357 -0,01678 -0,000227877
14,81994 0,027701 0,006914378 4,78086E-05 -0,31711 -0,002192642
16,66667 0,024876 0,004089169 1,67213E-05 16,66667 0,06815281
17,62918 0,030395 0,009608683 9,23268E-05 2,492121 0,023946005
15,68627 0,03268 0,011893285 0,00014145 0,549217 0,006531989
16,50641 0,032051 0,011264829 0,000126896 1,369352 0,015425519
17,74194 0,032258 0,011471611 0,000131598 2,604878 0,029882142
13,0137 0,022831 0,002044597 4,18038E-06 -2,12336 -0,004341414
26,45349 0,014535 -0,00625157 3,90821E-05 11,31643 -0,070745452
16,74277 0,015221 -0,005565753 3,09776E-05 1,605712 -0,008936998
12,71777 0,017422 -0,003364851 1,13222E-05 -2,41929 0,008140542
13,94558 0,017007 -0,003779651 1,42858E-05 -1,19148 0,004503377
13,69327 0,015649 -0,005137001 2,63888E-05 -1,44379 0,007416737
21,80328 0,016393 -0,004393011 1,92985E-05 6,666221 -0,029284779
17,82477 0,015106 -0,005680713 3,22705E-05 2,687715 -0,01526814
16,88525 0,016393 -0,004393011 1,92985E-05 1,748188 -0,007679808
15,77419 0,016129 -0,004657421 2,16916E-05 0,637136 -0,002967409
17,00508 0,025381 0,004594257 2,11072E-05 1,868018 0,008582156
14,85119 0,029762 0,008975451 8,05587E-05 -0,28587 -0,00256579
15,18738 0,019724 -0,001062587 1,12909E-06 0,050319 -5,34681E-05
13,45794 0,018692 -0,002094865 4,38846E-06 -1,67911 0,003517516
13,49206 0,019841 -0,000945183 8,93372E-07 -1,64499 0,001554822
13,11475 0,018215 -0,002571517 6,6127E-06 -2,0223 0,005200389
13,25581 0,023256 0,002469361 6,09774E-06 -1,88124 -0,00464547
14,3083 0,019763 -0,001023607 1,04777E-06 -0,82876 0,000848322
12,23176 0,021459 0,000672774 4,52625E-07 -2,9053 -0,00195461
13,35702 0,017762 -0,003024464 9,14738E-06 -1,78004 0,005383673
12,98932 0,017794 -0,002992859 8,9572E-06 -2,14773 0,006427865
13,33333 0,015152 -0,005634938 3,17525E-05 -1,80372 0,010163877
11,66667 0,015152 -0,005634938 3,17525E-05 -3,47039 0,01955544
13,59143 0,016474 -0,004311989 1,85932E-05 -1,54562 0,006664716
13,67852 0,015456 -0,005330503 2,84143E-05 -1,45854 0,007774761
12,26115 0,015924 -0,004862886 2,36477E-05 -2,87591 0,013985231
13,8535 0,015924 -0,004862886 2,36477E-05 -1,28355 0,006241781
15,13706 0,020786 -1,99493E-16 0,001258154 15,13706 0,109035815

а0= 86,66331
а1= 13,33564

С помощью пакета Анализ данных Excel найдем коэффициенты модели.

ВЫВОД ИТОГОВ

�*егрессионная статистика
Множественный R 0,687858
R-квадрат 0,473148
Нормированный R-квадрат 0,456684
Стандартная ошибка 202,0824
Наблюдения 34

Дисперсионный анализ
df SS MS F Значимость F
�*егрессия 1 1173589 1173589 28,73816 6,95E-06
Остаток 32 1306793 40837,29
Итого 33 2480382

Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95% Нижние 95,0% Верхние 95,0%
Y-пересечение 1417,439 123,3916 11,48732 6,87E-13 1166,098 1668,779 1166,098 1668,779
t -30541,5 5697,201 -5,3608 6,95E-06 -42146,4 -18936,7 -42146,4 -18936,7

ВЫВОД ОСТАТКА

Наблюдение Предсказанное Y Остатки
1 367,901 72,09903
2 571,4124 -36,4124
3 657,6987 12,3013
4 489,1242 90,87583
5 419,3489 60,6511
6 438,5429 76,45707
7 432,2275 117,7725
8 720,1431 -150,143
9 973,5208 846,4792
10 952,575 147,425
11 885,356 -155,356
12 898,0246 -78,0246
13 939,4802 -64,4802
14 916,7576 413,2424
15 956,086 223,914
16 916,7576 113,2424
17 924,8331 53,16692
18 642,2725 27,7275
19 508,4641 -9,46406
20 815,0413 -45,0413
21 846,5686 -126,569
22 811,4556 -131,456
23 861,1263 -141,126
24 707,1701 -137,17
25 813,8508 -89,8508
26 762,0407 -192,041
27 874,96 -122,96
28 873,9948 -143,995
29 954,688 -74,688
30 954,688 -184,688
31 914,283 -89,283
32 945,39 -60,39
33 931,1083 -161,108
34 931,1083 -61,1083

Z = 1417,439 - 30541,5t
Левую и правую часть умножим на х1. Получим следующую модель регрессии.
Y=1417,439 - 30541,5Х1
Стандартная ошибка полученной модели меньше стандартной ошибки исходной модели, следовательно, модель лучшего качества.

3.
Производственная функция или функция Кобба-Дугласа характеризует зависимость объема производства P от использованного труда L и вложенного капитала K:
P = c La Kb, где
c - коэффициент, что отображает уровень технологической производительности,
a и b - коэффициенты эластичности объема производства Y по фактору производства, то есть по капиталу К и труду L соответственно.

Исходные данные:
i 1 2 3 4 5 6 7
Yi 36,22 38,01 37,39 56,61 52,36 54,07 29,99
Xi1 11 18 16 26 20 21 9
Xi2 12 16 12 13 8 9 14
Для оценки параметров производственной регрессии сведем ее к линейной форме. После логарифмирования и замены величин получим приведенную линейную регрессию:
lnP = ln(c La Kb),
lnP = lnc + a lnL + b lnK.
Обозначим:
lnP = y, lnc = a0, a = a1, b = a2, lnL = x3, lnK = x4,
Пусть технологический прогресс величина постоянная. С=1, тогда a0=0
где L - количество фактора 1, K - количество фактора 2, P - количество продукции.
Получили эконометрическую модель, которая специфицирована в линейной форме:
y = a1x1 + a2x2 + u,
где a1, a2 - параметры модели u - стохастическая составляющая (остатки).
Запишем исходные данные в такой форме.
№ P L K
1 36,22 11 12
2 38,01 18 16
3 37,39 16 12
4 56,61 26 13
5 52,36 20 8
6 54,07 21 9
7 29,99 9 14

y x1 x2
lnP lnL lnK
3,589611 2,397895 2,484907
3,637849 2,890372 2,772589
3,621403 2,772589 2,484907
4,036186 3,258097 2,564949
3,958143 2,995732 2,079442
3,99028 3,044522 2,197225
3,400864 2,197225 2,639057
сумма 26,23434 19,55643 17,22307

Для вычисления коэффициентов a1, a2 воспользуемся пакетом анализа данных Excel.

ВЫВОД ИТОГОВ

�*егрессионная статистика
Множественный R 0,978053
R-квадрат 0,956587
Нормированный R-квадрат 0,93488
Стандартная ошибка 2,686697
Наблюдения 7

Дисперсионный анализ
df SS MS F Значимость F
�*егрессия 2 636,2107 318,1054 44,06906 0,001885
Остаток 4 28,87335 7,218338
Итого 6 665,0841

Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95% Нижние 95,0% Верхние 95,0%
Y-пересечение 35,00119 6,777136 5,164598 0,006677 16,18484 53,81753 16,18484 53,81753
Переменная X 1 1,454838 0,194108 7,495004 0,001695 0,915908 1,993767 0,915908 1,993767
Переменная X 2 -1,38564 0,412191 -3,36165 0,028262 -2,53006 -0,24121 -2,53006 -0,24121

У нас получается функция вида: y=3,145384+ 0,462866x1-0,22272x2
После преобразований приведем полученную функцию к исходному виду. Получим:
P = 35,00119 * L1,454838 * K-1,38564